$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
完全平方和 · 完全平方差 · 平方差公式
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$(a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^n b^n$$
$$a^0 = 1\ (a \neq 0) \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
提公因式：$$ma+mb+mc = m(a+b+c)$$
十字相乘：$$x^2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)$$
分组分解：$$ax+ay+bx+by = (a+b)(x+y)$$
步骤：一提（公因式）→ 二代（公式）→ 三分组 → 四十字
$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\ (a\geq 0,b\geq 0)$$
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\ (a\geq 0,b>0)$$
$$\sqrt{a^2} = |a|$$ ⚠️ 注意绝对值
分母有理化：$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$
$$ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$$
求根公式：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
判别式 $$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta > 0$$ → 两个不等实根 $$\Delta = 0$$ → 两个相等实根 $$\Delta < 0$$ → 无实根
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$
$$|x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$
应用：求两根之和/积，构造新方程
解法：去分母 → 解整式方程 → 必须检验
增根：使最简公分母为 0 的根
⚠️ 不检验直接扣分！
不等式性质：若 $$a > b$$，则
$$a+c > b+c \qquad a-c > b-c$$
$$ac > bc\ (c>0)$$ $$ac < bc\ (c<0)$$ 不等号要变向！
不等式组解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找
$$k$$ 为斜率：$$k>0$$ ↗ 递增，$$k<0$$ ↘ 递减，$$|k|$$ 越大越陡
$$b$$ 为截距：直线与 y 轴交点 $$(0,b)$$
正比例函数：$$y = kx$$，图像过原点
对称轴：$$x = -\frac{b}{2a}$$
顶点坐标：$$\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)$$
$$a>0$$ 开口向上，有最小值；$$a<0$$ 开口向下，有最大值
与 x 轴交点个数 = 判别式 $$\Delta$$ 的符号
$$k>0$$：图像在一、三象限，在每个象限内递减
$$k<0$$：图像在二、四象限，在每个象限内递增
图像是双曲线，关于原点中心对称
内角和：$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$
外角：一个外角 = 不相邻两内角之和
三边关系：$$a+b>c,\ |a-b| 面积：$$S = \frac{1}{2}ah$$ 大边对大角，等边对等角
SSS（边边边）· SAS（边角边）· ASA（角边角）
AAS（角角边）· HL（斜边直角边，仅 Rt△）
⚠️ SSA 不能判全等！
判据：AA（两角相等）· SAS相似 · SSS相似
性质：对应角相等，对应边成比例
相似比 $$k$$ → 周长比 $$k$$，面积比 $$k^2$$
基本图形：A字型、8字型、母子型、一线三等角
Rt△ABC 中，∠C=90°：$$a^2 + b^2 = c^2$$
逆定理：若 $$a^2 + b^2 = c^2$$，则为 Rt△
常用勾股数：(3,4,5) (5,12,13) (6,8,10) (7,24,25) (8,15,17)
含 30° 的 Rt△：30° 对边 = 斜边的一半
$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$
含 45° 的 Rt△（等腰直角）：
$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$
平行四边形：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
矩形：平行四边形 + 一个角是90° → 对角线相等
菱形：平行四边形 + 邻边相等 → 对角线互相垂直
正方形：矩形 ∩ 菱形
梯形中位线：$$MN = \frac{a+b}{2}$$（上底+下底的一半）
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧
圆周角定理：圆周角 = 同弧圆心角的一半
直径所对圆周角 = 90°
切线性质：切线垂直于过切点的半径
弧长：$$l = \frac{n\pi r}{180}$$ 扇形面积：$$S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{1}{2}lr$$
$$\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \quad \cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \quad \tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$
$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \qquad \tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
特殊角：
30°：$$\sin=\frac{1}{2}\ \cos=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \tan=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
45°：$$\sin=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \cos=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \tan=1$$
60°：$$\sin=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \cos=\frac{1}{2}\ \tan=\sqrt{3}$$
平均数：$$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$
加权平均数：$$\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$
中位数：按大小排列，中间位置的数
众数：出现次数最多的数
方差：$$s^2 = \frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$$
方差越小，数据越稳定（波动越小）
$$P(A) = \frac{m}{n}$$（事件 A 包含的结果数 / 总结果数）
$$0 \leq P(A) \leq 1$$
等可能事件：列表法、树状图
放回与不放回的区别——做题时先圈出关键字
和立方：$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
差立方：$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
立方和：$$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
变式：$$a^3+b^3 = (a+b)[(a+b)^2-3ab]$$
立方差：$$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$
变式：$$a^3-b^3 = (a-b)[(a-b)^2+3ab]$$
$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$$
$$(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2 = 2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)$$
★ $$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$
$$1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$2+4+6+\cdots+2n = n(n+1)$$
$$1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2$$
$$1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$1^3+2^3+\cdots+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = (1+2+\cdots+n)^2$$
$$1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$
$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$$
$$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$
$$\angle BDC = \angle A + \angle B + \angle C$$
BD、CD 平分 ∠ABC, ∠ACB：$$\angle BDC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$$
BD、CD 平分外角：$$\angle BDC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle A$$
BD 平分 ∠ABC，CD 平分 ∠ACE：$$\angle BDC = \frac{1}{2}\angle A$$
Rt△ABC 中 AB=AC，D 为斜边 BC 中点，∠EDF=90°，则：
① $$BE = AF,\ AE = CF$$ ② $$DE = DF$$
③ $$S_{四边形AEDF} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$$
正方形 ABCD 中 ∠EAF=45°，则 $$BE + DF = EF$$
Rt△ABC 中 AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°
则 $$BD^2 + CE^2 = DE^2$$
Rt△ABC 中 ∠A=90°，D 为斜边 BC 中点，∠EDF=90°
则 $$BE^2 + CF^2 = EF^2$$
四边形 ABCD 中 AC⊥BD，则 $$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$$
特别地，若为圆内接四边形：$$AB^2+CD^2 = AD^2+BC^2 = 4R^2$$
矩形 ABCD 内（外）任意一点 P：$$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$$
△ABC 中 ∠B=2∠C，AD 平分 ∠BAC → $$AB + BD = AC$$
△ABC 中 ∠B=2∠C，AD⊥BC → $$AB + BD = CD$$
△DAB、△EAC 都是等腰直角三角形：
① MN⊥BC，则 M 为 DE 的中点
② M 为 DE 的中点，则 MN⊥BC
△ABC、△CDE 为正三角形，则：
① $$AD = BE$$ ② CM 平分 ∠BMD
正△ABC 中 PC=3, PA=4, PB=5 → $$\angle APC = 150^\circ$$
Rt△ABC 中 AB=AC，PC,PA,PB=1,2,3 → $$\angle APC = 135^\circ$$
AB⊥AC，AD⊥BC：
① $$AD^2 = BD \cdot CD$$ ② $$AB^2 = BD \cdot BC$$
③ $$AC^2 = CD \cdot BC$$
等积原理：$$AB \cdot AC = BC \cdot AD$$
AD 平分 ∠BAC，则 $$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$$
CD⊥AB, BE⊥AC，则 $$\triangle ADE \sim \triangle ACB$$
△ABC 中 AD 平分 ∠BAC，DP 中垂线交 BC 延长线于 G
GP 交 AB, AC 于 E, F，则 $$\triangle AEF \sim \triangle ACB$$
Rt△ABC 中 AB=AC，CE⊥BE
构造：连 AE，过 A 作 AE 的垂线交 BE 于 F
$$AB = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$$
中点 C：$$x_0 = \frac{x_1+x_2}{2},\ y_0 = \frac{y_1+y_2}{2}$$
推论1：$$x_2 = 2x_0 - x_1,\ y_2 = 2y_0 - y_1$$
推论2（平行四边形顶点）：$$A = B + D - C,\ D = A + C - B$$
斜截式：$$y = kx + b$$
斜率：$$k_{AB} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$$
点斜式：$$y - y_0 = k(x - x_0)$$
k 的几何意义：$$k = \tan\alpha$$（倾斜角的正切）
$$l_1 \parallel l_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2$$（且 $$b_1 \neq b_2$$）
$$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1$$
点 P(x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离：
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
$$\tan\alpha = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2}\right|$$
直线 y=kx+b 与曲线交于 A, B 两点：
$$AB = \sqrt{1+k^2} \cdot |x_1 - x_2|$$
配合韦达定理使用
$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$
$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$
$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$$
其中 $$\tan\varphi = \frac{b}{a}$$
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$
推论：$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
R 为 △ABC 外接圆半径
$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$
$$S = \frac{abc}{4R}$$（R 为外接圆半径）
$$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$$（r 为内切圆半径）
$$x = \frac{b+c-a}{2},\ y = \frac{a+c-b}{2},\ z = \frac{a+b-c}{2}$$
直角三角形内切圆半径：$$r = \frac{a+b-c}{2}$$
